Plano de Aula
9º ano do Ensino Fundamental
Objetivo: Compreender a trajetória da parábola com estudo de Função quadrática
Introdução: A atividade proposta pretende chamar a atenção para o conhecimento da trajetória curva que recebe o nome parábola, estudar sua linha de movimento (crescente e decrescente). Estudo feito no plano cartesiano identificando as regularidades existentes quanto a concavidade e quanto ao ponto em que a parábola corta o corta o eixo de x. Estimular o aluno a desenvolver o “olhar” parabólico percebendo-a em inúmeras coisas.
Justificativa: Partindo do princípio que do nada não sai nada, que o conhecimento é construído pela busca de respostas aos questionamentos, na busca de compreensão dentro dos estudos de trajetórias, temos como objeto de estudo a parábola. Nosso caso específico (função quadrática) no passado e no presente.
Estratégias e Procedimentos: Revisão de conjunto dos Números Inteiros, Naturais e Racionais (fração e decimais). Conjunto dos números Reais, operações básicas(soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). Equação do primeiro grau (conceito e expressões algébricas). Sistema de coordenadas cartesianas, construção de gráficos e equação do segundo grau.
Uso de Narrativa: demostrando a presença destes tipos de trajetórias no cotidiano. A narrativa tem objetivo de despertar curiosidade e interesse pelo conhecimento de cálculos direcionado a pontos importantes da trajetória (parábola).
Uso de Software: para melhor compreensão do comportamento da trajetória, trazer para o aluno maior rapidez e precisão dos conceitos envolvidos neste estudo. Software utilizado será o Winplot
Exercícios: de aprendizagem e de fixação ( resolução de equação do 2º grau, construção de gráficos seguido de análise do discriminante delta, termo a e concavidade, ponto de máximo e de mínimo).
Avaliação: Observação atenta em todos os procedimentos propostos no que se refere ao envolvimento de cada aluno (execução das tarefas propostas e compreensão das mesmas). Avaliação escrita
Narrativa
1 - Um pouco de História: Função Quadrática
A noção de função do 2º grau ou função quadrática associa-se originalmente à idéia de equação do 2º grau, por volta de 300 a.C., o matemático grego Euclides ( 325-265 a.C) desenvolveu uma nova técnica denominada Álgebra Geométrica.
No Renascimento destacou-se as tentativas de explicar o movimento de queda livre de um corpo ou trajetória de uma bola de canhão, que é uma parábola, vários teóricos dos séculos XVI e XVII tentaram explicar essa trajetória, sem obter a parábola, tais explicações foram aperfeiçoadas até se chegar à parábola associada à curva de 2º grau, o que acelerou a necessidade de se relacionar curvas a equações, de modo geral, álgebra à geometria.
Como captar o movimento de uma bola de futebol chutada pelo goleiro?
O goleiro coloca a bola em jogo com um chute forte. A bola sobe até um ponto máximo e começa a descer descrevendo, assim, uma curva que recebeu o nome de parábola. O físico italiano Galileu Galilei, 1564 a 1642 (foto), estudou atentamente movimentos como o desta bola e concluiu que, se não fosse a resistência do ar, qualquer corpo solto no campo de gravidade da Terra se movimentaria do mesmo modo. Ou seja, ao fim de 1 segundo percorreria cerca de 5 x 12 = 5 metros;depois de 2 segundos, percorreria cerca de 5 x 22 = 20 metros; depois de 3 segundos, 5 x 32 = 45 metros; e assim sucessivamente.
Desta forma, depois de x segundos, percorreria 5 x 32 = 45 metros, onde 5 é aproximadamente a metade da aceleração da gravidade em metros por segundo, em cada segundo. Isto é o mesmo que escrever a função f (x) = 5x2 . Galileu agrupou todos esses elementos em um importante conceito
2 – Com o recurso do Software Winplot – construção dos gráficos
2. 1- Faça o gráfico das funções quadráticas: f(x) = x^2+2x e g(x) = x^2+4x-3, analise-os quanto ao discriminante delta, o zero da função e o coeficiente a. Escolher cor vermelho para f(x) e azul para g(x).
a) transladar f(x), gráfico (cor vermelha), obtenha os outros dois casos que faltam e analise-os.
b) transladar g(x), gráfico de cor azul, obtenha os outros dois casos que faltam e analise-os.
c) visualizar os gráficos f(x) e g(x) e suas respectivas transladação, obtendo todos os casos de análises de uma parábola.
2. 2 - Usando o Winplot:
Construção dos gráficos (passo a passo)
a) abrir a tela, fechar a pequena janela que aparece e clicar em 2dim F2
( vai aparecer o plano cartesiano)
b) clicar em Ver, ir até eixos , espessura te tela (nesta janela alterar para espessura 2), clicar em ok!.
c) clicar em Ver, ir em grade ( abre uma janelinha ), escolher grade pontilhada, retangular , clicar em aplicar.
4d clicar em equações, ir até explicita (na janela escrever) a equação no espaço
f(x) = ......, espessura de linha 2, escolher a cor vermelha para função f(x), clicar em ok!
e) aparece o gráfico e uma outra janela, nesta janela clicar em equações (vai aparecer a equação f(x) ao lado do gráfico da mesma cor do gráfico).
f) Repetir o processo 4 e 5 para função g(x), não esquecer de escolher cor azul
g) Transladar o gráfico f(x): clicar em Um, ir até transladar (abre uma janelinha), acertar em a = 2 e em b = 1 (verá que o gráfico muda para uma segunda posição)
h) na mesma janelinha de transladação repetir a operação com os números: a = 4 e b = 2, você verá que teremos os três casos de parábola com a > 0.
i) ransladar o gráfico g(x): clicar em Um, ir em transladar, alterar os números,
para a = -3 e para b = -1 (verá que o gráfico muda para uma segunda posição)
j) na mesma janela de trasladação repetir a operação mudando os números, para a = -5 e para b = -2, teremos agora os três casos de parábolas com a < 0.
k) Fazer as análises questionadas no exercício.
Obs.: para indicação x ao quadrado digitar x circunflexo e 2.
Com os gráficos confeccionados no Winplot.
f(x) = x^+2x de cor vermelha: a > 0 e delta > 0, concavidade para cima e apresenta duas raízes reais e distintas, a parábola corta o eixo de x nos pontos -2 e 0.
g(x) = x^2+4x-3 de cor azul: a < 0 e delta > 0, concavidade para baixa e apresenta duas reais e distintas, a parábola corta o eixo de x nos pontos 1 e 3.
a) Na seqüência da esquerda para direita respectivamente para a função f(x) após transladação (cor vermelho):
- o gráfico tangencia com o eixo de x em apenas um ponto, a parábola apresenta duas raízes iguais, neste caso delta é igual a zero, com a mesma concavidade (para cima).
- o gráfico se apresenta acima do eixo de x, logo não existe raízes reais, o delta é negativo.
b) Na seqüência da direita para esquerda respectivamente partindo da função original função g(x) e seguindo após transladação (cor azul):
- a parábola tangencia o eixo de x em apenas um ponto, temos aqui duas raízes iguais, apenas um zero da função, neste caso delta igual a zero e concavidade para baixo
- a parábola se apresenta abaixo do eixo e de x, portanto o delta é negativo, não existindo raízes, ou seja, não existe zero da função, com a mesma concavidade (para baixo).
c) visualizar no Winplot todos os casos possíveis da função quadrática quanto a concavidade para cima e para baixo, o zero da função com suas raízes quando existirem. (gráfico abaixo)
Auxiliando a compreensão
Parábolas no cotidiano
Conclusão: O objetivo do estudo é mostrar ao aluno a importância do estudo das funções quadráticas no decorrer da história da humanidade. Verificamos que sua visualização está muito próxima, nas mais diversas formas.
